Interpretazione della moltiplicazione con il prodotto cartesiano

In questo contesto si parla di moltiplicazione come cardinalità del prodotto cartesiano. Prima di tutto partiamo col definire cos'è il prodotto cartesiano tra due insiemi. Considerando due insiemi finiti, che chiameremo A eB, il loro prodotto cartesiano sarà Indicato con AxB, e sarà un nuovo insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate tra A e B.

Un utile strumento al fine di fare questi calcoli è la tabella a doppia entrata. La tabella a doppia entrata viene scritta lasciando vuota la prima cella. Nella prima colonna, a partire dalla seconda cella si indicano gli elementi del primo insieme e nella prima riga, a partire dalla seconda cella, gli elementi del secondo insieme. Dopodiché, si riempie la tabella inserendo le coppie ordinate in corrispondenza degli incroci tra le righe e le colonne.

Le coppie di ordinate si costruiscono molto facilmente. Il primo elemento della coppia non è altro che il primo elemento della riga corrispondente, mentre il secondo elemento è il primo della colonna corrispondente, e così via.

Adesso definiamo il prodotto tra due numeri come cardinalità del prodotto cartesiano. Prima di tutto, per cardinalità di un insieme intendiamo il numero di elementi dell'insieme.

In definitiva, il prodotto cartesiano non è altro che il numero delle coppie ordinate che si possono formare con due insieme, di cui il primo ha tanti elementi quante sono le unità del moltiplicando ed il secondo ha tanti elementi quanti sono le unità del moltiplicatore.